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Schau dir das mal genauer an, offenbar ist es grundsätzlich möglich:
https://woocommerce.github.io/woocommerce-rest-api-docs/#retrieve-an-order
Die Frage wurde woanders bereits gelöst. Zusammenfassung: WooCommerce erzeugt generell keine Rechnungen. Somit kann WooCommerce so etwas auch nicht bereitstellen. Plugins wie Germanized und German Market ermöglichen eine Rechnungserstellung. Ob die das per API anbieten, müsste man deren Support fragen.
Im Beispiel von @presskopp geht es um die Bestellung an sich, das ist nicht die Rechnung nach der hier gefragt wird.