Nun habe ich folgendes Problem: Irgendwie habe ich dadurch auch die URL mit übertragen.
Ist ja auch richtig so. Du sicherst die Datenbank inklusive allen Einstellungen (also auch der URL) und stellst sie wieder her – also auch mit der URL aus dem Backup. Das lässt sich aber recht schnell geradebiegen: Du gehst ins Kundenmenü deines Webhosters, dort in die Datenbankverwaltung (phpMyAdmin), achtest darauf die richtige Datenbank auszuwählen (die, in der das Backup gerade wiederhergestellt wurde – zur Not nochmal in der wp-config.php nachsehen!) und gehst in die Tabelle wp_options (die Vorsilbe wp_ kann individuell anders sein). Dort suchst du nach den Feldern siteurl und home (wahrscheinlich musst du etwas in der Tabelle blättern) und änderst sinngemäß https://subdomain.domain.de in https://domain.de.
Nun solltest du dich zwar anmelden können, aber die URLs zu allen Mediendateien verwenden noch die Subdomain. Das änderst du mit dem Plugin Better Search Replace, indem du nach Installation/Aktivierung des Plugins auf Werkzeuge > Search & Replace gehst und (wieder sinngemäß) https://subdomain.domain.de mit https://domain.de ersetzt. Achte darauf, alle Datenbank-Tabellen zu markieren und das Häkchen bei Testlauf zu entfernen.
Das war’s auch schon. Und wieso braucht dein Freund das jetzt nicht zu machen? Entweder ändert sich die Domain bei ihm nicht, oder er nutzt die kostenpflichtige Version, die gleich einen Migrationsassistenten beinhaltet und den Schritt überflüssig macht.